今天，我们将介绍非常重要的一部分：风险的量化。我们会从原理以及Python实战两个角度来学习。

我们开始今天的内容。

一、方差

1952年，Markowitz发表了均值-方差投资组合理论，在这套理论中他正式提出了用方差来描述资产收益不确定性的方法，也就是资产风险的方差度量法。

为什么我们可以用方差来度量风险呢？我解释一下方差的原理你就知道了。

这里R是指所有的收益率序列（真实或预估），E(R)是指收益率的期望。有些朋友可能对期望不太熟悉，所以我们换个表达方式。假如我们有一组已知的长度为n的收益率数据R，那么它们的方差为：

相当于每个收益率数据与平均收益率之间距离的平方的均值。简单来说，我们可以理解为收益率相对于均值的波动情况。方差越大，波动越大，风险也就越大，潜在的收益往往也越高。

随着风险理论的实践与发展，这种方法被发现了很大的弊端。首先，这个定义不能与风险完全等同，因为向上的剧烈波动也会造成方差偏高，但是这种波动是我们所希望发生的，能使我们获益；其次，Markowitz的均值-方差投资组合理论有一个重要假设，那就是收益率是符合正态分布的，但是现实中的金融产品收益率往往具有明显的偏度和峰度，仅仅使用方差来度量有可能会产生较大的误差。

假如我们已经获取到了一组收益率数据R，在Python中，我们可以很多方法来计算方差，这里我们用numpy和pandas来示范一下如何计算方差和标准差（方差的平方根）：

# 使用numpy
import numpy as np
R = [0.01, 0.05, 0.02, -0.03]
var1 = np.var(R)
std1 = np.std(R)

# 使用pandas
import pandas as pd
R = pd.Series([0.01, 0.05, 0.02, -0.03])
var2 = R.var()
std2 = R.std()

二、下行风险

同样是1952年，Roy发表了用下行偏差来度量风险的方法。这个方法解决了前边我们提到的方差度量法的问题，它主要关注向下的波动。计算下行偏差时，一个最重要的变量就是目标收益率，通常用可接受的最低收益率代表（MARR，Minimum Acceptable Rate of Return）。我们常用无风险收益率、0或者资产收益率的平均值作为MARR。下行偏差描述的就是低于MARR的收益率的发散程度，其计算方式为：

也就是说，收益率大于MARR的部分全都会被抹平为0，小于MARR的部分会正常进行计算。这样的话，得到的下行偏差中不包含向上波动的成分，仅仅代表了资产价值下行的风险。包括方差度量法的创始人Markowitz都承认下行风险是一个更好的衡量方式。

那么我们来看一下如何用Python计算下行风险，我们先用tushare来获取万科和中国平安近两年的行情数据。

import pandas as pd
import tushare as ts

pro = ts.pro_api()
wanke = pro.daily(ts_code='000002.SZ', start_date='20170101')
pingan = pro.daily(ts_code='601318.SH', start_date='20170101')

wanke.head()

image

然后，分别计算万科和平安的下行风险：

def cal_downside_risk(r):
    _r = r.map(lambda x: x / 100)
    mean = _r.mean()
    r_adjust = _r.map(lambda x: min(x-mean, 0))
    risk = np.sqrt((r_adjust ** 2).mean())
    return risk
    
wanke_risk = cal_downside_risk(wanke.pct_chg)
pingan_risk = cal_downside_risk(pingan.pct_chg)

print('万科下行风险：', wanke_risk)
print('平安下行风险：', pingan_risk)

image

看起来万科的下行风险更大一些，因为它的收益率在均值下方的波动更大一些。在上边的代码中，我们先将收益率转换为小数（tusahre中为了便于观察，提供了百分点数据），然后实现了我们前边提供的下行风险计算公式。这部分如果有不能理解的可以留言。注意，这里函数的输入参数是 一个pandas Series对象。

三、风险价值

1994年，投行巨头摩根大通公开发表了用风险价值（Value at Risk，VaR）度量风险的方法。其定义为：VaR是给定的置信水平和目标时段下预期的最大损失。用公式表达为：

其中，随机变量Xt是金融资产或资产组合在时间段t内的价值变动量，Pr代表概率，这个公式的含义是，在时间段t内，我们的损失比VaR(α,t)还大的的概率为α%。也就是说，想要计算风险价值，我们必须要先清楚收益率的概率分布。那么我们如何计算收益率的概率分布呢？

常见的方法有历史模拟法、协方差矩阵法以及蒙特卡洛模拟法。

1. 历史模拟法

这个方法最为简单。以单日、5%置信区间为例，我们直接取历史上每天的收益率数据，得到其数据分布。然后我们找到95%的置信区间中（在这里取最大的95%即可）最小的那个收益率，然后乘以我们的初始资产价值，就是我们预估的VaR了。

这种方法假定未来的波动与历史波动一致，但事实上金融市场瞬息万变，很多风险因素并不能从历史数据中发掘出来。历史模拟法一般需要至少1500个数据样本，否则会导致VaR不太可靠；另外太过久远的数据意义也不大。

2. 协方差矩阵法

协方差矩阵法主要用于投资组合的风险预估。它假设各资产的收益率服从正态分布，且各资产的收益率与资产组合的收益率之间呈线性关系，这样投资组合的收益率也服从正态分布。然后我们通过历史数据中各资产的收益率均值、方差、协方差矩阵，可以估计出投资组合的均值及方差，这样就得到了投资组合的收益率分布。

这里由于我们只有投资组合的均值和方差，且我们假设投资组合的收益率也符合正态分布，所以我们可以通过正态分布的概率模型来找到VaR。我们对收益率数据做过标准化之后可以将其转化为z分数，z分数是符合标准正态分布的。然后从分布中找到1-α%的置信区间内的最小值（即α%分位数），我们用Zα来表示它，然后将其代入计算z分数的公式求解出对应的收益率。

3. 蒙特卡洛方法

又称随机抽样或统计试验方法，是一种随机模拟方法。蒙特卡洛方法在模型构建合理、参数选择正确时会更加精确可靠，甚至能处理非线性、收益率非正态分布的情况；但是它依赖特定的随机过程和所选择的历史数据，并且产生的随机数据序列是伪随机数，可能会导致结果误差较大，而且计算量大、计算时间长。

如果读者对于自助采样法（Bootstrap）有所了解的话，会发现他们之间有一些关联。蒙特卡洛方法假定了数据的分布，但是自助法不需要有任何数据假设，它直接从原始数据中进行再抽样。这部分我们暂时了解即可，之后会找时间专门讲解。

那么接下来我们就使用刚才万科和平安的数据，用Python来实战一下。

# 历史模拟法
wanke_var = wanke.pct_chg.quantile(0.05) / 100
pingan_var = pingan.pct_chg.quantile(0.05) / 100
print('历史模拟法')
print('万科VaR(0.05,1天)：', wanke_var)
print('平安VaR(0.05,1天)：', pingan_var)

# 协方差矩阵法
from scipy.stats import norm

wanke_var = norm.ppf(0.05, wanke.pct_chg.mean(), 
                     wanke.pct_chg.std()) / 100
pingan_var = norm.ppf(0.05, pingan.pct_chg.mean(), 
                      pingan.pct_chg.std()) / 100
print('协方差矩阵法')
print('万科VaR(0.05,1天)：', wanke_var)
print('平安VaR(0.05,1天)：', pingan_var)

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image

可以看到，两种方法都表明万科的VaR更高，即在95%的置信区间下，万科的最大损失更高。

我们来解释一下代码，pandas Series对象的quantile()方法会返回分位数，在前边我们已经明确，历史模拟法计算VaR直接求0.05分位数即可；pandas Series对象的mean()方法和std()方法分别返回其均值和标准差；scipy.stats.norm函数可以根据我们输入的置信区间、均值和标准差来求得对应的分位数。

四、期望亏空

期望亏空（Expected）是VaR（风险价值）的变体，是学术界提出来用于弥补VaR理论上的缺点。前边我们提到，风险价值是1-α%置信区间内最大的亏损，也就是从小到大第α%百分位数。

那么期望亏空不是第α%位置对应的收益率，而是最小的α%中所有收益率的均值。

我们仍然以万科近两年的收益率数据为例：

VaR_wanke = wanke.pct_chg.quantile(0.05)
ES_wanke = wanke.query('pct_chg <= @VaR_wanke')['pct_chg'].mean()

print('万科近两年风险价值：', VaR_wanke)
print('万科近两年期望亏空：', ES_wanke)

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可以看到，期望亏空是比风险价值更低的。理论上，期望亏空≤风险价值永远成立。

五、最大回撤

最大回撤（Maximum Drawdown，MDD）是非常常用的用来衡量投资（尤其是基金）表现的手段，它代表了投资人可能遇到的最大亏损。最大回撤非常好理解，首先，资产在时刻t的回撤是指在（0，t）期间的最高峰值到T时刻的资产价值Pt之间的回落值；而最大回撤，就是在最高峰值之后一直到T时刻，中间有一个最低点，从峰值到最低点的回落值就是最大回撤。回撤值占最高价值的比例就是回撤率。

比如说，2018年以来A股的最高点是3587.03，上一个交易日（2019-01-04）的收盘价为2514.87，那么2019-01-04的回撤率为：(3587.03-2514.87)/3587.03=29.89%，刚好最低点也出现在2019-01-04，所以最大回撤率为(3587.03-2440.91)/3587.03=31.95%。

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但是有些时候我们拿到的数据并不是资产价值的数据序列，而是收益率的序列，那我们应该如何计算最大回撤呢？

从时刻0到时刻T的回撤值(这里的回撤值类似基金净值的回撤值)为：

相应的回撤率为：

用LaTeX手打一个公式太慢了……所以最大回撤即最大回撤率的公式就不给大家展示了，留给大家自己练习一下。其算法是找到毛收益率（1+Rt）累乘的最大值，这里就是峰值了，假设这一时刻是k，那么我们就接着找从k到T之间毛利率累乘的最小值，然后计算两者的差异占最高值的比例，就是最大回撤率了。

多说无益，我们直接来看代码实战，还是以上证综指18年以来的数据为例，先获取数据：

import pandas as pd
import tushare as ts

pro = ts.pro_api()
index_sh = pro.index_daily(ts_code='000001.SH', start_date='20180101')
index_sh.index = pd.to_datetime(index_sh.trade_date)
index_sh = index_sh.sort_index(ascending=True)
index_sh.head()

image

在这里我们将交易日期转换为了时间序列数据，并且作为了我们DataFrame的索引。然后我们开始求18年以来的收益趋势：

value = (index_sh.pct_chg / 100 + 1).cumprod()
value.plot();

image

可以看到，几乎从头跌到尾……

然后我们开始计算最大回撤率：

MDD = (value.cummax() - value).max()
print('最大回撤：', MDD)

mdd = ((value.cummax() - value) / value.cummax()).max()
print('最大回撤率：', mdd)

image

可以看到，这里我们计算的最大回撤率是30.77%，与刚才我们手动计算的31.95%并不一致，为什么呢？

这是因为，这里我们是使用的收益率数据，而收益率数据都是以收盘价计算的，这里我们损耗了最高价、最低价的信息，所以我们看到的最大回撤率比实际情况稍低。不过对于基金净值、组合资产等，我们一般也更关注收盘价数据，对于盘中的波动相对来说没有那么重视。