忘光了概率统计的知识还想学朴素贝叶斯算法？这一篇就是为你准备的。虽然如此，作为初学者，别指望 5 分钟就能完全理解这篇文章。

这是一篇很长的文章，阅读要有足够的耐性。根据以往经验，对这种文章感兴趣的人很少。如果万一你真的感兴趣，这里有能正常显示公式的版本。

朴素贝叶斯

朴素贝叶斯 (Naive Bayers) 是一种基于概率统计的分类方法，它在条件独立假设的基础上，使用贝叶斯定理构建算法，在文本处理领域有广泛的应用。

1 算法原理

要讲清楚算法原理，我们需要先搞清楚贝叶斯定理，它是一个条件概率公式。

1.1 贝叶斯定理

我们来看一下维基百科上一个有意思的例子。警察使用一个假冒伪劣的呼气测试仪来测试司机是否醉驾。假设这个仪器有 5% 的概率会把一个正常的司机判断为醉驾，但对真正醉驾的司机，则其测试结果是 100% 准确的。从过往的统计得知，大概有 0.1% 的司机为醉驾。假设，警察随机拦下一个司机，让他 (她) 做呼气测试，仪器测试结果为醉驾。仅凭这一结果判断，这位倒霉的司机真的醉驾的概率是多高？

90% ？50% ？真实的结果是不到 2% 。对，你没看错，如果我们没有通过其他的方法（比如闻司机身上的酒味），单单凭这个仪器的测试结果来判断，其实准确性是非常低的。

假设，我们的样本里有 1000 人，根据过往的统计数据，这 1000 位司机里有 0.1% 的概率为真正醉驾，即有 1 位真正醉驾的司机，999 位正常。这 1000 位司机均拿这个劣质呼气测试仪来测试，则有多少人会被判断为醉驾？对这位真正醉驾的司机，他 (她) 无法蒙混过关，而对 999 位正常的司机，有 5% 的概率会被误测，所以总共有 1 + 999 x 5% 个倒霉蛋会被仪器判断为醉驾。由此可得，所有被仪器判断为醉驾的司机里面，真正醉驾的概率是 1 / (1 + 999 x 5%) = 1.96% 。

实际上，贝叶斯定理是计算这类条件概率问题的绝佳方法。我们记 P(A|B) 表示观察到事件 B 发生时，事件 A 发生的概率，则贝叶斯定理的数学表达为：

$$
P(A|B) = \frac {P(A) P(B|A)} {P(B)}
$$

回到我们的例子里，我们记事件 A 为司机真正醉驾，事件 B 为仪器显示司机醉驾。则我们的例子里要求解的问题即为 P(A|B)，即观察到仪器显示司机醉驾（事件 B 发生）时，司机真正醉驾（事件 A 发生）的概率是多少。P(A) 表示司机真正醉驾的概率，这是先验概率，例子里的数值是 0.1% 。P(B|A) 表示当司机真正醉驾时（事件 A 发生），仪器显示司机醉驾（事件 B 发生）的概率是多少，从例子里的数据得知是 100% 。P(B) 表示仪器显示司机醉驾的概率，这里有两部分的数据，针对真正醉驾的司机 (0.1%)，仪器能 100% 检测出来，故这部分的数值上 0.1% x 100%；针对正常的司机 (1 - 0.1%) ，仪器显示醉驾的概率为 (1 - 0.1%) * 5%。代入贝叶斯定理即可得：

P(A|B) = 0.1% x 100% / [0.1% x 100% + (1 - 0.1%) * 5%] = 1.96%

1.2 朴素贝叶斯分类法

假设我们有一个己标记的数据集 $[x^{(i)}, y^{(i)}]$ ，其中 $y^{(i)} \in [C_1, C_2,..., C_b]$，即数据集总共有 b 个类别；$x^{(i)} = [x_1, x_2,..., x_n]$，即总共有 n 个输入特征。针对一个新的样本 $x$ ，我们要预测 $y$ 的值，即对 $x$ 进行分类。这是个典型的机器学习里的分类问题。

我们要求解的问题，使用统计学的语言，可以描述为，当观察到输入样本是 $x$ 时，其所属于的类别 $y = C_k$ 的概率，使用条件概率公式可以写成：

$$
p(C_k|x)
$$

其中 $C_k \in [C_1, C_2,..., C_b]$ ，我们只需要分别求出所有 b 个类别的概率，然后取概率最大的那个 $C_k$ 即是 $x$ 所属的类别。直接求解上述公式比较困难，我们应用贝叶斯定理进行一次变换：

$$
p(C_k|x) = \frac {p(C_k) P(x|C_k)} {P(x)}
$$

针对不同的 $C_k$ ，$P(x)$ 都是固定的值。故，我们只需要求解，针对不同的 $C_k \in [C_1, C_2,..., C_b]$ 的情况下，$p(C_k) P(x|C_k)$ 的最大值即可知道，$x$ 属于哪个类别。即：

$$
p(C_k|x) \varpropto p(C_k) P(x|C_k)
$$

其中 $\varpropto$ 表示成正比的意思。根据联合概率公式，可得：

$$
p(C_k) P(x|C_k) = P(C_k, x)
$$

对概率统计陌生的同学不要被专有术语吓到了，联合概率表示的是一种概率叠加。比如，你走在路上遇到美女是一个随机事件，美女对你一见钟情是另外一个随机事件，那么你在路上遇到美女，且对你一见钟情的概率要怎么计算呢？即 P(美女，对你一见钟情) 的值是多少呢？使用概率叠加来计算，遇到美女的概率，乘以是个美女，且对你一见钟情的概率（条件概率）。即：

$$
P(美女，对你一见钟情) = P(美女) P(对你一见钟情|美女)
$$

我们从白日梦回到枯燥的数学。又因为，$x$ 是有 n 个特征向量，即 $x = [x_1, x_2,..., x_n]$ ，可得：

$$
p(C_k) P(x|C_k) = P(C_k, x) = P(C_k, x_1, x_2,..., x_n)
$$

根据链式法则以及条件概率的定义，我们可以进一步推导公式：

$$
P(C_k, x_1, x_2,..., x_n) = P(x_1, x_2,..., x_n, C_k)
$$

$$
P(x_1, x_2,..., x_n, C_k) = P(x_1 | x_2,..., x_n, C_k) P(x_2,..., x_n, C_k)
$$

$$
P(x_1, x_2,..., x_n, C_k) = P(x_1 | x_2,..., x_n, C_k) P(x_2 | x_3,..., x_n, C_k) ... P(x_n | C_k) P(C_k)
$$

咦，好像越推导越复杂了。是时候用上我们的法宝了。上述推导里，我们只用了贝叶斯定理，我们的法宝就是前面的定语朴素。朴素指的是条件独立假设，即事件之间没有关联关系。比如，掷一个质地均匀的骰子两次，前后之间出现的数字是独立的，不相关的，我们称这两个事件是条件独立的。朴素贝叶斯算法的前提是，输入特征需要满足条件独立假设。即，当 $i \neq j$ 时，$x_i$ 和 $x_j$ 是不相关的，用大白话说，就是 $x_i$ 事件是否发生和 $x_j$ 没关系。根据条件独立的原则：

$$
P(x_i | x_{i+1},..., x_n, C_k) = P(x_i | C_k)
$$

有了这个公式，我们就可以简化为：

$$
P(x_1, x_2,..., x_n, C_k) = P(x_1 | C_k) P(x_2 | C_k) ... P(x_n | C_k) P(C_k)
$$

这样我们的最终推导结果就是：

$$
p(C_k|x) \varpropto P(C_k) \prod_{i=1}^n P(x_i | C_k)
$$

其中 $\prod$ 是连乘符号。$P(C_k)$ 表示每种类别出现的概率，这个值很容易从数据集里统计出来。$P(x_i | C_k)$ 表示当类别为 $C_k$ 时，特征 $x_i$ 出现的概率，这个也可以从数据集中统计出来。这就是朴素贝叶斯分类法的数学原理。

2 一个简单的例子

我们先通过一个简单的例子，来看怎么样应用朴素贝叶斯分类法。假设我们有以下的关于驾龄，平均车速和性别的统计数据：

现在观察到一个驾龄为 2 年的人，平均车速为 80，问：这个人的性别是什么？

假设 $C_0$ 表示女，$C_1$ 表示男，$x_0$ 表示驾龄，$x_1$ 表示平均车速。我们先来计算这个人为女性的概率相对值。根据统计数据，女性司机的概率 $P(C_0) = 5 / 10 = 0.5$。根据统计数据，驾龄为 2 年的女性司机的概率，即 $P(x_0 | C_0) = 1 / 10 = 0.1$。平均车速为 80 的女性司机的概率 $P(x_1 | C_0) = 1 / 10 = 0.1$。根据朴素贝叶斯分类法的数学公式：

$$
P(C_0) \prod_{i=1}^n P(x_i | C_0) = 0.5 \times 0.1 \times 0.1 = 0.005
$$

接着，我们来计算这个人为男性的概率相对值。根据统计数据，不难得出男性司机的概率 $P(C_1) = 5 / 10 = 0.5$。驾龄为 2 年的男性司机的概率 $P(x_0 | C_1) = 2 / 10 = 0.2$。平均车速为 80 的男性司机的概率 $P(x_1 | C_1) = 3 / 10 = 0.3$。根据朴素贝叶斯分类法的数学公式：

$$
P(C_1) \prod_{i=1}^n P(x_i | C_0) = 0.5 \times 0.2 \times 0.3 = 0.03
$$

从相对概率来看，这个人是男性的概率，是这个人是女性的概率的 6 倍，据此我们判断这个人是男性。我们也可以从相对概率里算出绝对概率，即这个人是男性的概率是 $0.03 / (0.03 + 0.005) = 0.857$ 。

3 概率分布

到目前为止，我们介绍的朴素贝叶斯分类法，是根据数据集里数据，计算出绝对概率来进行求解。再看一遍朴素贝叶斯分类法的数学公式：

$$
p(C_k|x) \varpropto P(C_k) \prod_{i=1}^n P(x_i | C_k)
$$

其中，$P(x_i | C_k)$ 表示在类别 $C_k$ 里，特征 $x_i$ 出现的概率。这里面有个最大的问题，如果数据集太小，那么从数据集里计算出来的概率偏差将非常严重。举个例子，你观察到一个质地均匀的骰子投掷 6 次的结果是 [1, 3, 1, 5, 3, 3]。质地均匀的骰子，每个点出现的概率都是 1/6 ，如果你根据我们观察到的数据集，去计算每个点的概率，和真实的概率相差将是非常大的。

怎么解决这个问题呢？答案是使用概率分布来计算概率，而不从数据集里计算概率。为了介绍清楚这个问题，需要从概率统计的基本概念谈起，那些对概率统计比较熟悉的读者可以直接跳过本节内容。

3.1 概率统计的基本概念

人的身高是一个连续随机变量，而投掷一个骰子得到的点数则是一个离散随机变量。我们闭着眼睛在地球上随便抓一个人，问：这个人身高是 170 cm 的可能性是多大呢？如果有一个函数 $f(x)$，能描述人类身高的可能性，那么直接把 170 cm 代入即可求出这个可能性。这个函数就是概率密度函数，也称为 PDF (Probability Density Function)。典型的概率密度函数是高斯分布函数，比如人类的身高，就满足高斯分布的规律，我们在下文会详细介绍。

再比如，投掷一个质地均匀的骰子，得到 6 的概率是多少？大家应该都知道答案是 1/6 。假如有一个函数 $f(x)$，能描述骰子出现 x 点数（$x \in [1, 6]$）的概率，那么把 x 代入即可得到概率，这个函数称为概率质量函数，即 PMF (Probability Mass Function)。为什么要费力使用概率质量函数呢？一是在数学追求统一性，二是并不是所有的离散随机变量的概率分布，都像投掷一次骰子这么直观。比如投掷 6 次质地均匀的骰子，得到 4 个 4 的概率是多少？相信好学的你会限入无限的沉思，并感叹一下：这个问题不好算啊。这个时候如果有概率质量函数，就可轻松求解啦。

总结一下，随机变量分成两种，一种是连续随机变量，另外一种是离散随机变量。概率密度函数描述的是连续随机变量在某个特定值的可能性，概率质量函数描述的是离散随机变量在某个特定值的可能性。而概率分布则是描述随机变量取值的概率规律。

3.2 多项式分布

抛一枚硬币，要么出现正面，要么出现反面（我们假设硬币不会立起来）。假如出现正面的概率是 p ，则出现反面的概率就是 1 - p 。符合这种规律的概率分布，称为伯努利分布 (Bernoulli Distribution)。其概率质量函数为：

$$
f(k ; p) = p^k (1-p)^{1-k}
$$

其中，$k \in [0, 1]$，p 是出现 1 的概率。比如，抛一次质地均匀的硬币，得到正面的概率为 0.5，这是众所周知的答案。我们代入上述公式，也可以得到相同的结果，即 $f(1 ; 0.5) = 0.5$。

更一般的情况，即不止两种可能性时，假设每种可能性是 $p_i$，则满足 $\sum_i^n p_i = 1$ 条件的概率分布，我们称为类别分布 (Categorical Distribution)。比如我们投掷一个骰子，则会出现 6 种可能性，所有的可能性加起来概率为 1。类别分布的概率质量函数为：

$$
f(x | p) = \prod_{i=1}^k p_i^{x_i}
$$

$\prod$ 是我们见过的连乘符号。其中，$k$ 是类别的数量，$p_i$ 是第 i 种类别的概率，$x_i$ 当且仅当类别 x 为类别 i 时，其值为 1，其他情况其值为 0。比如，针对质地均匀的骰子，$k$ 的值为 6，$p_i$ 的值为 1/6 。问，投掷这个骰子得到 3 的概率是多少？傻子都知道，答案是 1/6 啊。我们代入概率质量函数验算一下，$f(3 | p) = \prod_{i=1}^6 p_i^{x_i}$，针对所有 $i \neq 3$ 的情况，$x_i = 0$，针对 $i = 3$ 的情况，$x_i = 1$，所以容易算出 $f(3 | p) = 1/6$。

停停停，你都快把我绕晕了，这么简单的问题为什么要弄得这么复杂呢？笔者仿佛听到读者在报怨了。前面都是铺垫，接下来介绍的内容才是精华。再往下看，你就就能知道我们把问题复杂化的原因，也能看到数学之美。

那我们开始吧，问：抛一枚质地均匀的硬币 10 次，出现 3 次正面的概率是多少？这是个典型的二项式分布问题。二项式分布，指的是把符合伯努利分布的实验做了 n 次，结果 1 出现 0 次，1 次，2 次 ... n 次的概率分别是多少，它的概率质量函数为：

$$
f(k; n, p) = \frac {n!}{k! (n-k)!} p^k (1 - p)^{n-k}
$$

其中，k 是结果 1 出现的次数，$k \in [0, 1, ..., n]$，n 是实验的总次数，p 是在一次实验中结果 1 出现的概率。怎么理解这个公式呢？我们总共进行了 n 次实验，那么出现 k 次结果 1 的概率为 $p^k$ ，剩下的必定是结果 0 的次数，即出现了 n - k 次，其概率为 $(1 - p)^{n-k}$，公式前面的系数表示的是组合，即 k 次结果 1 可以是任意的组合，比如可能是前 k 次是结果 1，也可能是最后 k 次出现的是结果 1。回到最初的问题：抛一枚质地均匀的硬币 10 次，出现 3 次正面的概率是多少？代入二项式分布的概率质量函数，得到：

$$
f(3; 10, 0.5) = \frac {10!} {3! \times (10 - 3)!} \times 0.5^3 \times (1 - 0.5)^{10 - 3} = 0.1171875
$$

我们再看一个更简单的例子，问：抛一枚质地均匀的硬币 1 次，出现 0 次正面的概率是多少？代入二项式分布的概率质量函数，得到：

$$
f(0; 1, 0.5) = \frac {1!} {0! \times (1 - 0)!} \times 0.5^0 \times (1 - 0.5)^{1 - 0} = 0.5
$$

其中，零的阶乘为 1，即 $0! = 1$。结果跟我们预期的相符，当实验只做一次时，二项式分布退化为伯努利分布。

多项式分布是指满足类别分布的实验，连续做 n 次后，每种类别出现的特定次数组合的概率分布情况。假设，$x_i$ 表示类别 i 出现的次数，$p_i$ 表示类别 i 在单次实验中出现的概率。当满足前提条件 $\sum_{i=1}^k x_i = n$ 时，由随机变量 $x_i$ 构成的随机向量 $X = [x_1,...,x_k]$ 满足以下分布函数：

$$
f(X,n,P) = \frac {n!}{\prod_{i=1}^k x_i!} \prod_{i=1}^k p_i^{x_i}
$$

其中，P 是由各个类别的概率构成的向量，即 $P = [p_1,...,p_k]$，k 表示类别的总数，n 表示实验进行的总次数。理解这个公式也比较简单，可以把 $\prod_{i=1}^k p_i^{x_k}$ 理解为，按照特定顺序，所有类别出现的某个特定的次数组合的概率，比如投掷骰子 6 次，出现 (1, 2, 3, 4, 5, 6) 这样特定顺序组合的概率。前面的系数，表示组合的个数，比如，投掷骰子 6 次，每个点数都出现一次，可以是 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ，也可以是 (1, 3, 2, 4, 5, 6) 。

我们看一个例子，同时投掷 6 个质地均匀的骰子，出现 (1, 2, 3, 4, 5, 6) 这种组合的概率是多少？我们可以把这个问题转换成，连续投掷 6 次质地均匀的骰子，每个类别都出现 1 次的概率。这是个典型的多项式分布问题，其中随机向量 $X = [1, 1, 1, 1, 1, 1]$，代入多项式分布的概率质量函数可得：

$$
f(X,n,P) = \frac {6!}{\prod_{i=1}^6 1!} \prod_{i=1}^6 (1/6) = 0.015432099
$$

好了，是时候解决之前那个让你挠耳抓腮的问题了：投掷 6 次质地均匀的骰子，得到 4 个 4 的概率是多少？我们需要把这个问题转换为二项式分布问题。投掷 1 次骰子时，得到 4 的概率是 1/6，得到其他点数 (非 4) 的概率是 5/6。现在需要计算投掷 6 次骰子，得到 4 个 4 的概率，代入二项式分布的概率质量函数可得：

$$
f(4; 6, 1/6) = \frac {6!}{4! \times (6 - 4)!} (1/6)^4 \times (1 - 1/6)^{6 - 4} = 0.008037551
$$

我们再来算一下，同时投掷 6 个质地均匀的骰子，出现 5 个 1 的概率是多少？还是转换为二项式分布问题：

$$
f(5; 6, 1/6) = \frac {6!}{5! \times (6 - 5)!} (1/6)^5 \times (1 - 1/6)^{6 - 5} = 0.000643004
$$

在厦门和台湾，中秋博饼是一个盛大的传统活动，相传是郑成功为了缓解士兵的中秋思乡之情，发明的一种游戏。很多公司在中秋节都会组织员工博饼，奖品从牙膏，牙刷，洗衣粉，食用油到洗发水，购物卡，生活用品样样俱有。往往这个时候员工都会玩得很开心。其规则是，所有参与的玩家轮流，同时投掷 6 个骰子，根据掷出的不同点数组合，发放对应奖项的奖品。游戏设有一个状元，两个对堂，以及其他数量不等的不同名目的奖项。状元的点数组合是 4 个 4 或者 6 个 4 或者 5 个相同点数的骰子组合，如 5 个 1，5 个 2 等。如果是顺子，即 (1, 2, 3, 4, 5, 6) 的组合，则为对堂。玩过中秋博饼的读者经常会有这样的体会，状元奖品早就被博走了，可是对堂奖品却还有，今天我们从概率的角度来看看为什么会出现这个现象。根据上文例子的计算结果，出现对堂的概率是 0.015432099，而出现状元的概率是 0.008037551 + 6 x 0.000643004 = 0.011895575（我们忽略 6 个 4 的超级状元组合）。说明古人在发明这种游戏时，还是充分考虑过概率的，即博出状元的概率还是比对堂要低。不过，由于对堂有两份奖品，算起来，虽然对堂出现的概率比状元高，但需要出现两次才能把全部对堂的奖品消耗完，而其概率又不足状元的两倍。这就解释了，为什么往往状元已经被博走了，可是还有对堂奖品的原因。

简单总结一下，二项式分布，描述的是，多次伯努利实验中，某个结果出现次数的概率。多项式分布，描述的是，多次进行满足类别分布的实验，所有类别出现的次数组合的分布。

二项式分布和多项式分布，结合朴素贝叶斯算法，经常被用来实现文章分类算法。比如，有一个论坛需要对用户的评论进行过滤，屏蔽掉不文明的评论。首先，我们需要有一个经过标记的数据集，我们称为语料库。假设，我们使用人工标记的方法，对评论进行人工标记，标记为 1 表示包含不文明用语的评论，标记为 0 表示正常评论。

假设我们的词库大小为 k ，则文章里出现的某个词，可以看成是一次满足 k 个类别的类别分布实验。我们知道，一篇评论是由 n 个词组成的，故一篇文章可以看成是进行 n 次符合类别分布的实验后的产物。由此得知，一篇评论文章服从多项式分布，它是词库里的所有词语出现的次数组合构成的随机向量。一般情况下，词库比较大，评论文章只是由少量词组成，所以这个随机向量是很稀疏的，即大部分元素为零。通过分析语料库，我们容易统计出每个词出现不文明评论以及正常评论文章里的概率，即 $p_i$ 的值。同时，针对待预测的评论文章，我们可以统计出词库里的所有词在这篇文章里的出现次数，即 $x_i$ 的值；以及评论文章的词语个数 n 。代入多项式分布的概率质量函数：

$$
f(X,n,P) = \frac {n!}{\prod_{i=1}^k x_i!} \prod_{i=1}^k p_i^{x_i}
$$

我们可以求出，待预测的评论文章构成的随机向量 X ，其为不文明评论的相对概率。同理也可求出其为正常评论的相对概率，通过比较两个相对概率，就可以对这篇文章输出一个预测值。当然，实际应用中，涉及到大量的自然语言处理的手段，包括中文分词技术，词的数学表示等。在此不一一展开。

3.3 高斯分布

在车速和性别预测的例子里，我们的平均车速，笔者故意给出了离散值，实际上它是一个连续值。这个时候怎么用朴素贝叶斯算法来处理呢？答案是，可以用区间来把连续值转换为离散值。比如，我们把 [0, 40] 之间的平均车速作为一个级别，把 [40, 80] 之间的平均车速作为另外一个级别，此外再把 80 以上的车速作为另外一个级别。这样就可以把连续的值变成离散的值，从而使用朴素贝叶斯分类法进行处理。另外一个方法，是使用连续随机变量的概率密度函数，把数值转换为一个相对概率。本节介绍的高斯分布就是这样的方法。

高斯分布 (Gaussian Distribution) 也称为正态分布 (Normal Distribution)，是自然界最常见的一种概率密度函数。人的身高满足高斯分布，特别高和特别矮的人出现的相对概率都比较低。人的智商也符合高斯分布，特别聪明的天才和特别笨的人出现的相对概率都比较低。高斯分布的概率密度函数为：

$$
f(x) = \frac {1} {\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac {(x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right)
$$

其中 x 为随机变量的值，$f(x)$ 为随机变量的相对概率，$\mu$ 为样本的平均值，其决定了高斯分布曲线的位置，$\sigma$ 为标准差，其决定了高斯分布的幅度，其值越大，分布越分散，值越小，分布越集中。典型的高斯分布如图 9-1 所示：

高斯分布

这里需要提醒读者注意，高斯分布的概率密度函数和支持向量机里的高斯核函数的区别。二者的核心数学模型是相同的，但目的不同。

4 连续值的处理

我们来看一个来自维基百科的例子。假设，我们有一组人类身体特征的统计数据如下：

假设某人身高 6 英尺、体重 130 磅、脚掌 8 英寸，请问此人的性别是什么？

根据朴素贝叶斯公式：

$$
p(C_k|x) \varpropto P(C_k) \prod_{i=1}^n P(x_i | C_k)
$$

针对待预测的这个人的数据 x，我们只需要分别求出男性和女性的相对概率：

$$
p(性别) \times p(身高|性别) \times p(体重|性别) \times p(脚掌|性别)
$$

然后取相对概率较高的性别为预测值即可。这里的困难在于，所有的特征都是离散变量，无法根据统计数据计算概率。当然，这里我们可以用区间法，把连续变量转换为离散变量，然后再计算概率。由于数据量较小，这显然不是个好方法。由于人类身高，体重，脚掌尺寸满足高斯分布，故一个更好的办法，是使用高斯分布的概率密度函数来求相对概率。

首先，针对男性和女性，分别求出每个特征的平均值和方差：

接着，我们利用高斯分布的概率密度函数，来求解男性身高为 6 英尺的相对概率：

$$
p(身高=6|男性) = \frac {1} {\sqrt {2 \pi \times 3.5033e-02}} \exp \left( - \frac {(6 - 5.855)^2} {2 \times 3.5033e-02^2} \right) \approx 1.5789
$$

这里的关键是，把连续值（身高）作为输入，通过高斯分布的概率密度函数的处理，直接转换为相对概率。注意，这里是相对概率，所以其值大于 1 并未违反概率论规则。

我们使用相同的方法，容易算出以下数值：

$$
p(体重=130|男性) = 5.9881 \times 10^{-6}
$$

$$
p(脚掌=8|男性) = 1.3112 \times 10^{-3}
$$

由于 $p(男性) = 0.5$ ，故这个人是男性的相对概率为：

$$
0.5 \times 1.5789 \times 5.9881 \times 10^{-6} \times 1.3112 \times 10^{-3} = 6.1984 \times 10^{-9}
$$

使用相同的方法，可以算出这个人为女性的相对概率为 $5.3778 \times 10^{-4}$。从数据可知，这个人为女性的概率比男性的概率高了 5 个数量级，故我们判断这个人为女性。

（完）