自己博客上写的入门，原文地址：http://cvnote.info/SAGE入门：开源数学系统之集大成者
最近在学习Sage这款开源数学软件系统，百度了一下发现国内关注的还比较少，所以写一个Sage的介绍吧。
Sage（http://www.sagemath.org）是一款类似于Maple、Matlab、Mathematica之类的数学软件，GPL许可，项目的目标是：
Mission: Creating a viable free open source alternative to Magma, Maple, Mathematica and Matlab.
Sage可以干什么？介绍中有这么一句：“这款开源软件的支持者称Sage能够完成从12维物体到计算全球变暖效应数学模型中的降雨量的任何事情。”Sage包含了从线性代数、微积分，到密码学、数值计算、组合数学、群论、图论、数论等各种初高等数学的计算功能。
Sage的一大特点是整合了众多优秀的开源数学软件，使用户可以在Sage中方便的使用这些库中的相应功能。Sage目前整合了近一百个开源的数学库，这其中包括著名的ATLAS、BLAS、LAPACK、Boost、GSL、SciPy等等，完整列表可以查看这里。
Sage基于并使用Python，Python程序可以在Sage中直接运行，也可以在Sage中使用Python的各种库，感觉就像是提供了一个包含各种数学功能的Python环境。
使用Sage，你可以：
下载安装Sage到本地（下载链接）
使用在线版本。Sage目前提供两种在线平台，分别是早期的The Sage Notebook和最近推出的SageMathCloud
下面是Sage的一些功能。
Sage Notebook
也可以在本地Sage命令行下使用 notebook() 开启，相当于Maple的工作簿Worksheet，虽然看着有点简陋，但功能还是很强大的，可以输入Sage 命令，渲公式、显示图形等。
Sage Notebook
Sage Notebook
SageMathCloud
地址：https://cloud.sagemath.com/
SageMathCloud类似于一个在线的写作编程平台，注册后可以在里面建立工程，编辑各种源文件。这里建立了一个test工程，然后新建了一个.sagews（Sage Worksheet）工作簿文件，界面和Maple的worksheet很像，可以在里面输入代码，点击运行键可以显示结果。
Sage Worksheet
Sage Worksheet
虽然目前还是beta版但是感觉还是挺好用的。除了Worksheet还可以新建terminal，效果和本地的Linux terminal一样,输入 sage 可以进入Sage命令行，用法和Python命令行很像，可以使用 help() 和tutorial()产看帮助与教程。
sage-intro-term
Sage Could Terminal
基本计算
和大多数数学软件系统一样，很简单易用。比如求2013的质因子：
sage : x = 2013
sage : f = factor ( x )
sage : f
3 * 11 * 61
或者矩阵求逆
sage : matrix ( [ [ 1 , 2 ] , [ 3 , 4 ] ] ) ^ ( - 1 )
[ - 2 1 ]
[ 3 / 2 - 1 / 2 ]
符号计算
Sage的符号计算非常好用，可以用 x = var('var_name') 声明符号变量。例如求一个函数的积分
sage : a = var ( 'a' )
sage : x = var ( 'x' )
sage : f = a * sin ( x ) + 1 / x
sage : f . integrate ( x )
- a* cos ( x ) + log ( x )
或者解个方程
sage : solve ( x ^ 2 + a , x )
[ x == - sqrt ( - a ) , x == sqrt ( - a ) ]
绘图功能
比如画出上面 f = a * sin(x) + 1 / x 在a=1时,在x=1~10的图像。 figsize 为图像大小
sage : f = f . substitute ( a == 1 )
sage : plot ( f , ( x , 1 , 10 ) , figsize = 2 )
可以得到
Sage Plot
Sage Plot
除了2D，Sage还支持3D绘图，具体可以查看文档。
基本的数域与环
Sage支持在整数环（ ZZ）、有理数域（ QQ）、实数域（ RR）、复数域（ CC），以及更高级的多项式环、有限域（Finite Field）等集合上进行计算。这里要顺便复习一下抽象代数，比如一些简单的概念：
sage : QQ . gens ( ) # 有理数域的单位元和零元素
( 1 , )
sage : QQ . zero ( )
0
sage : CC . gens ( ) # 复数域的单位元和零元素
( 1.00000000000000 * I , )
sage : CC . zero ( )
0.000000000000000
运算的范围不同，结果也不同。例如：
: ratpoly . < t > = PolynomialRing ( QQ ) # 定义ratpoly为基于有理数域上t的多项式环
sage : realpoly . < z > = PolynomialRing ( RR ) # 定义realpoly为基于实施域上z的多项式环
sage : factor ( t ^ 2 - 2 )
t ^ 2 - 2
sage : factor ( z ^ 2 - 2 )
( z - 1.41421356237310 ) * ( z + 1.41421356237310 )
外部软件/库接口
对于集成的外部开源数学软件库，Sage提供的方便的接口进行调用。在Sage中使用这些接口可以方便的将不同语言、不同功能的数学软件库整合在同一程序中，这也使得Sage集成了众多开源数学软件之所长。当然这些外部数学库很多都非常专业，实际应用中应该只会用到其中很有限的一部分。这里举两个官网Sage Tutorial里的例子。
用GP/PARI求（本）原根（Primitive root）
GP/PARI是一个做数论的包（wiki）。原根是什么呢，上过数论但是忘了的请面壁:(
抄一下wiki吧还是
在gcd(a,m)=1时，定义a对模m的指数Ord_m(a)为使a^d \equiv 1 \pmod{m}成立的最小的正整数d。由前知Ord_m(a) 一定小于等于 \phi (m)，若Ord_m (a) = \phi (m)，则称a是模m的原根。
对正整数(a,m)=1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模n乘法群（即加法群 Z/mZ 的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zn×的一个生成元。
生成元是一个很数论中很重要的概念，在一个整数模n乘法群中，生成元可以通过不断与自己相乘（然后再模n），生成群中的所有元素。元根可以用PARI中的 znprimroot(n) 函数来求。
sage : gp ( 'znprimroot(7)' )
Mod ( 3 , 7 )
或
sage : pari ( 'znprimroot(7)' )
Mod ( 3 , 7 )
得到3是模7乘法群的一个元根。
用Maxima在有理域求矩阵特征向量
Maxima用LISP编写的计算机代数系统 （Computer Algebra System），前身是Macsyma，Matlab和Mathematica等软件的出现都受到在Macsyma的影响。在Sage中可以方便调用Maxima代数系统。例如下面在求特征向量并转换到有理域向量空间的例子，代码同样来自官网Sage Tutorial，加了一些注释：
sage : A = maxima ( "matrix ([1, 0, 0], [1, -1, 0], [1, 3, -2])" ) # 生成矩阵
sage : eigA = A . eigenvectors ( ) # 计算特征响亮
sage : V = VectorSpace ( QQ , 3 ) # V是一个有理数域上的3维向量空间，
sage : eigA # 输出格式为[[[特征值],[特征值重数]],[[特征向量0],[特征向量1],[特征向量2]]]
[ [ [ - 2 , - 1 , 1 ] , [ 1 , 1 , 1 ] ] , [ [ [ 0 , 0 , 1 ] ] , [ [ 0 , 1 , 3 ] ] , [ [ 1 , 1 / 2 , 5 / 6 ] ] ] ]
sage : v1 = V ( sage_eval ( repr ( eigA [ 1 ] [ 0 ] [ 0 ] ) ) ) ; lambda1 = eigA [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ]
sage : v2 = V ( sage_eval ( repr ( eigA [ 1 ] [ 1 ] [ 0 ] ) ) ) ; lambda2 = eigA [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ]
sage : v3 = V ( sage_eval ( repr ( eigA [ 1 ] [ 2 ] [ 0 ] ) ) ) ; lambda3 = eigA [ 0 ] [ 0 ] [ 2 ]
sage : M = MatrixSpace ( QQ , 3 , 3 ) # M是一个有利数域上的3×3维的矩阵空间
sage : AA = M ( [ [ 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , - 1 , 0 ] , [ 1 , 3 , - 2 ] ] )
sage : b1 = v1 . base_ring ( ) # b1 == QQ 是有理数域
sage : AA* v1 == b1 ( lambda1 ) * v1 # 验证特征值定义Av = lambda1v
True
sage : b2 = v2 . base_ring ( )
sage : AA* v2 == b2 ( lambda2 ) * v2
True
sage : b3 = v3 . base_ring ( )
sage : AA* v3 == b3 ( lambda3 ) * v3
True
注意到 M() 、 V() 、 b1() 、 b2() 、 b3() 都相当于类型转换，限定运算在有理数域上进行。另外这里的特征向量没有单位化，因为是在有理数域上。
与Latex协同
Sage内部可以与Latex协同。对于任意Sage对象foo，可以通过调用 latex(foo) 得到其Latex输出。例如：
sage : var ( 'z' )
z
sage : latex ( z ^ 12 )
z ^ { 12 }
sage : latex ( integrate ( z ^ 4 , z ) )
\ frac { 1 } { 5 } \ , z ^ { 5 }
sage : latex ( 'a string' )
\ verb | a | \ phantom { \ verb ! x ! } \ verb | string |
sage : latex ( QQ )
\ Bold { Q }
sage : latex ( matrix ( QQ , 2 , 3 , [ [ 2 , 4 , 6 ] , [ - 1 , - 1 , - 1 ] ] ) )
\ left ( \ begin { array } { rrr }
2 & 4 & 6 \ \
- 1 & - 1 & - 1
\ end { array } \ right )
类似地，本地Sage命令行中使用 view(foo) 则会
SageTex Package
通过 \usepackage{sagetex} 在tex文件中使用SageTex Package，可以直接在tex文件中插入Sage命令，并随Latex输出结果到pdf。具体可参见官方Sage Tutorial。
小结
刚刚发现Sage的时候觉得很好很强大啊，本身基于Python，可以使用Python的库，也会比较好上手。同时又提供了比较方便的接口调用各种外部的数学系统，使得功能十分强大。另外与Latex的协同和嵌入功能，Sage Notebook和SageMathCloud等工具也都做得挺好用的。
我自己不是专业搞数学的，但是感觉开源项目里面要想出一个Matlab、Mathematica或者Maple级别的软件，估计就得靠他了。Sage诞生于2005年，到目前为止国内关注的还很少，可能一方面是因为dao版的Matlab等软件实在太方便了，另一方面因为数学系统本身涉及许多非常专业的数学知识，一般程序员很少接触、专业人士又很少注开源。感觉要是能在大学课程（比如抽象代数、数论等）中得到使用的话会有比较好的普及效果。
对于我自己来说，平时从事计算机视觉和机器学习的研究，大概了解Sage了之后，也发现大部分纯数学的功能自己一般很难用上，其中和我做过的工作比较有关的是有关代数几何中用Groebner basis解多项式方程组的一些东西，不过自己纯是外行，不好说能不能用Sage得到什么结果。写这个介绍还是希望Sage能在国内有所发展，对相关的研究人员有所帮助吧。如果对Sage或者计算机视觉感兴趣，欢迎来访问我的博客cvnote（http://cvnote.info）。
一些参考或相关的链接
官方教程：http://www.sagemath.org/doc/tutorial/index.html
官方中文：http://www.sagemath.org/zh/
国内博客Lainme’s Blog的教程中文翻译，博客上还有一些Sage使用的帖子：http://www.lainme.com/doku.php/topic/sage/start
国内amao博客男单 618的中文教程翻译，博客有很多关于Sage使用的帖子：http://ai7.org/wp/html/682.html
