(4.9)James Stewart Calculus 5th Edition:Newton’s Method


Newton’s Method 牛顿法则

Newton’s Method 牛顿法则
又叫 Newton-Raphson method 牛顿迭代法则

大体就是不停的迭代,求近似值,

在点 (x1, f(x1)) 做对应的切线



这个时候,如果和x轴的截点为(x2,0),则有:





的时候,可以得到:



同理,我们可以得到x3:

依次类推,可以不停的迭代下去
我们观察对应的图像:

大体在 f'(xn) != 0 的情况下:


当n足够大的时候,我们有稳定的值r:



当然,这里起始点比较重要,
Then Newton’s method fails and a better initial approximation x1 should be chosen.
比如,下图,虽然也是为了求r, 但是,到x2的时候,对应的切线和x轴的交点,超出了对应函数的定义域

例子:

一些例子:
例子1

首先,我们可以得到



再根据原函数



大致取点,决定对应的起始点:

这里,我们发现x=2是让f(x)最接近0的
所以,我们起始点取值为2

由牛顿法则,可以得到:



根据我们先取的点,n = 1 的时候,我们知道对应的x值为2



可以求得,对应的x2 = 2.1

同理,可以求得x3 的值, 约等于 2.0946


例子2


我们知道,对应的值,就是下面方程的解:

可以得到,对应的导数

对应的牛顿法则,为:

简单判断,可以知道选取初始值为 x = 1,比较好
大体可以迭代求出:

所以,我们可以得到 小数点后8位的精度:

例子3


和上面一个例子类似,我们可以转化为

的解
也就是,

可以得到,对应的导数为:

分别画出y = cosx 和 y = x 的图像,大体我们可以选择起始点为 x = 1

同理,我们可以求出对应的xn的值:

所以,对应的 6为精度的值为: 0.739085

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