“是谁定天地的尺度？是谁把准绳拉在其上？他的根基安置在哪里？他的路标是怎样安放的？……光明从何而至？黑暗原来又位于何所？”

天文星象总是发人深思、令人神往。

自古以来，理解天象一直是几何、术算、哲理、宗教研究的原动力和崇高目标。

几何与代数是对宇宙所处空间的理性认识，是科学的基础，也是先行者。

据《周礼》记载，中国早在春秋战国时期，便形成了“方田（土地丈量）”、“少广（面积长阔）”、“商功（工程土方）”等几何术算学分支。中国古人很早就掌握了矩形、三角形的面积公式和方体、锥体的体积公式。三国时期，赵爽作“勾股圆方图”，证明了勾股定理。

勾股圆方图

如果说中国古代的数学成就是对生产实践的经验总结，那么在基本同时期的万里之外的古希腊，其数学体系可以说是基于公理体系的理性演绎。

成书于公元前300年的《几何原本》以五条公设就建立起了一个完整而自洽的平面几何体系。

这五条公设是：

1. 从一点向另一点可以引一条直线；
2. 任意线段能无限延伸成一条直线；
3. 给定一个点和一条线段可以作一个圆；
4. 所有直角都相等；
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于平角，则这两条直线在这一边必定相交。

从这五条简明而高度概括的公理出发，欧几里得建立了一个包含相似形、圆、多边形、作图法、立体几何甚至还有大量数论和代数定理的庞大而完整的数学体系。《几何原本》在往后的千百年中，成为流传之广仅次于《圣经》的伟大书籍。尽管这并非他一人之功劳，但欧几里得仍可谓古希腊几何代数学的集大成者。【1】

书中第十卷将前人关于不可公度比（无理数）和极限的思想加以继承和发展，具有里程碑式的意义。

故事就从这里开始：

数学危机

古希腊数学家在定量研究平面几何的基础理论时，面对“长度”这一基本概念，力求一丝不苟。“长短”是一个相对的概念，在对宇宙常量缺乏认识的年代，“长度”并没有绝对的定义。数学家提出了“可公度性”这一纯粹的理论：

• 若两条线段的长度 a，b 分别是另一长度 c 的整数倍（即 a=m·c，b=n·c），则可定义比值 a:b=m:c，称之为可公度比（有理数）。

“可公度性”原则相对地定义了“长度”这一自然量，并且将数系由整数扩充到有理数。以此为基础，数学家对几何学的其他重要公式，如面积公式、相似三角形公式、勾股定理等加以严格论证。希腊人“坚定”地认为世界上所有的数都可以用整数和可公度比表示，并将“可公度性”原则奉为几何学的“第一公理”。

众所周知，古希腊的毕达哥拉斯（希腊语：Πυθαγόρας，公元前570年~公元前495年）同样发现并证明了勾股定理（毕达哥拉斯定理）。希腊人“坚定”地认为世界上所有的数都可以用整数和可公度比表示。然而正是这个基础而优美的定理引发了一场前所未有的危机。

毕达哥拉斯的学生希帕索斯（希腊语：Ἵππασος，约公元前5世纪）是这场危机的直接引发者。

”1“是一个简单而美妙的数字。如果一个直角三角形的两条直角边边长均为”1“，那么弦长是多少？

3/2 ? 不对，偏大了；

7/5？也不对，偏小了，但更接近一些了；

······

随着思考的深入，一个想法令他不寒而栗，似乎没有任何一个可公度比可以准确表示这个弦长，但是这个弦长又确确实实存在着！

另一个事实是：

正五边形的对角线和边长的比值也不能用有理数表示。

正五边形.png

如图，由正五边形的性质可知三角形 与三角形 是两个全等的等腰三角形。

记对角线长为 b，边长为 a，对角线与边长的比值为 k， ，则 b=a+r 。

希帕索斯突发奇想，把 各延长一段 r ，他一眼就看出了一个新的正五边形 。

两个正五边形.png

于是得到了一个方程

希帕索斯用几何方法证实了该方程不存在有理数解 。

这两个看似极为普通却石破天惊地发现，使得古希腊学界大为震惊。不可公度比这个亟待解释的问题，对当时的希腊学界来说，是一个严峻而迫切的挑战。

接近，接近，再接近

其实数学家已经发现，通过试错法寻找问题的解的过程，就是不断接近最终答案的过程，用有理数不断地去接近这个未知的数，是一个行之有效的方法。

这个有待定义的数（这里暂且记为 p），不能用一个比值表示出来，但是它与任意一个有理数的大小关系是清楚的，这一点，称之为“比较原则”。

欧多克索斯（希腊语：Εὔδοξος，公元前408年~公元前355年）提出:

对于任意的正整数N，存在正整数m，使得

这样，就将不可公度比 p 限制在了两个相差为 1/N 的有理数之间。随着分母 N 的不断增大，不等式上下界限的差异越来越小，最终趋于零，不等式左右将统一成为等式。这就是“极限”的思想。

并且，如果存在两个不相等的不可公度比 p 和 q ，那么它们之间必定相差一个不为零的定值，记为d 。而 1/N 是一个可以任意小的量，只要 N 足够大，1/N 就能小于 |d| ，那么 p 和 q 不可能同时被限制在 m/N 和 (m+1)/N 之间。这一点，称为“唯一性”。于是，不可公度比就可以被定义了。

对于任何一个可以用方程表述的不可公度比，运用欧多克索斯所提出的思想和方法，进行多次计算比较，总能求出达到足够精度的结果。

假设空间中的存在一条无限长的直线，在直线上定一个点为基准点O，再定一个不与点O重合的点E，便可以记线段OE的长度为单位长度1。对于直线上任意一点P到点O的距离相对单位长度的大小，都可以用可公度比或不可公度比表示；反之，任何一个可公度比或不可公度比都可以直观地表示为直线上的一段相对长度。将可公度比（有理数）和不可公度比（无理数）统称为实数。那么可以说，实数与直线上的点呈一一对应的关系。实数是完备的，则直线是连续的，空间是连续的。【2】

数轴.png

欧多克索斯用这样简朴而精到的想法，将无理数补充进数系，重建了几何学与代数学的基础。他本人或许无法想象，他的思想会在千年之后催生出一场多么伟大的科学革命。

两千年前古希腊人对空间本质的理解之深刻，令人叹为观止。

在东方的古代中国，数学家取得的成就同样令人惊叹。

三国时期（公元三世纪），刘徽提出割圆术，为推导圆面积公式和计算圆周率建立了严密的理论依据和完善的算法，也同样蕴含着“极限”的深邃思想。

在圆的内接正N边形的基础上，可以作内接正2N边形，且后者之面积必大于前者。记内接正N边形的边长为L(N)，周长为C(N)，面积为S(N)。

内接多边形.png

根据刘徽总结的“出入相补”原理（即割补法），可将内接正2N边形按图中方式重新组合拼接成一个矩形，并求得面积为

同样的，对于圆的外接正多边形，正六边形面积小于正三角形，正十二边形面积小于正六边形······以此类推。

外接多边形png

外接多边形.png

通过割补法也可求得圆外接正N边形的面积 T(N)。记边长为M(N)，周长为D(N)。

内接多边形面积再大也不大于圆面积，外接多边形面积再小也不小于圆面积。记圆周长为，圆面积为，于是便得到不等式

另一方面，随着边数的增加，外接多边形和内接多边形的轮廓与圆周的贴合程度越高，即多边形的周长趋近于圆的周长【3】。可以用现代化的数学语言表达为：

定义圆周长与直径的比值为π ，即 。

于是

这就是今人熟知的圆面积计算公式。

刘徽并未止步于此。通过割圆术，他又对计算圆周率发起了挑战。

对于半径为1的圆，其内接正六边形的边长也恰巧是1，于是便从这里起步。作出内接正十二边形、正二十四边形······

多边形边长递推关系.png

由勾股定理不难证明，内接正多边形的边长之间存在递推关系

对于开方运算，需要通过逼近方法（即与欧多克索斯求无理数的类似方法）计算出达到运算精度要求的数值解。将求得的边长代入内接正多边形面积计算公式(1.2)，可得圆周率的近似值。迭代次数越多，正多边形与圆差别越小，所得圆周率精度就越高。如刘徽所说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”

圆周率迭代表.png

在计算工具简陋的古代，刘徽单靠算筹计算到了3072边形，获得了令他满意的圆周率3.1416。之后南北朝数学家祖冲之继续分割到12288边形，求得24576边形的面积，得到3.1415926的近似值，成为此后千年世界上精度最高的圆周率。

“极限”的思想，是人类迈入理性科学王国的重要一步。

他们，古希腊的、中国的和诞生于其他国度的数学家、思想家，为人类文明的发展奉献了辛劳、汗水与牺牲。他们是值得赞美的，是值得铭记的。

空间是连续的 (?)

在对欧多克索斯极限思想的讨论中，引出了“空间是连续的”这一观点。

首先明确，真实的物质空间和抽象的理论空间不是等同的概念，但是长久以来人们将它们视作等同，因为早期科学理论——几何与代数，无论在古希腊、中国还是其它文明，都是源于人们对时间与空间的观察所产生的理论，即抽象于现象。

人们“总结”出，所处的宇宙空间具有

• 对称性（镜像、平移，旋转等变换具有不变性）
• 平直性（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
• 连续性（空间的构成元素直线、曲线是不间断的）

这些性质无法用更基础的理论来解释，被认为是不证自明的真命题，称之为公理，其实就是先于一切证明之假设。欧多克索斯的极限论和欧几里得的几何代数体系在各自的公理体系下都是自洽且合理的，并且是当时认知水平下，刻画物质世界的有效模型。经典物理学也正是建立在某片特定的土壤之上的，而一旦脱离了这片土壤便会一文不值。

连续性在理论上是极限论乃至微积分和数学分析学的重要前提。而在现实物质世界，空间是否是连续的，或者说基于连续性所建立的理论体系对客观世界的描述是否正确？

近现代，随着观测水平的提高，人们对时空的认识愈发深入，各派学说对现实空间的本质众说纷纭，至今未有定论。

在此专栏中，笔者所用之理论体系依旧以经典物理学为主。故使经典物理学合理的各种前提，亦为此专栏所涉及理论和逻辑的默认前提。

注：

【1】第五公设是符合平面几何的客观事实的，但其表述不如其他四条公设简洁明了。后世数学家在研究中，提出将第五公设的否命题代替原公设，却机缘巧合般地发展出了非欧几里得几何体系。

几何体系.png

【2】严格意义上，实数的完备性是在十九世纪作为分析学的定理而被正式提出的。但是古希腊数学家对数的“稠密性”和空间的连续性已经有了较为深入的认识。

【3】此处的论述并不严谨，可以看下面这个例子

圆周率等于4？.png

同样是用多边形趋近圆的方法，为什么刘徽使用正多边形逼近可以得到正确的圆周率，而图中这样锯齿形多边形却是错误的呢？原因在于，逼近法的核心是使近似结果与目标的差异为一个无穷小量。而无穷小量的定义是什么？什么可以称得上是无穷小？这个问题在微积分学建立之后，同样引发了一场危机。经过柯西、狄利克雷、戴德金、康托等人的不懈努力，建立了成熟而严谨的分析学，这个问题才有了答案。
刘徽所用的正多边形每个顶点都在圆周上，这个以直代曲的思路是合理而有效的，所以得到正确的结果。

本文部分素材来源《千古之谜与几何天文物理两千年》/项武义、张海潮、姚珩,2010.2。部分图片来源于网络。

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