一、前言
本系列文章通过介绍 贝塞尔曲线 的基础知识，贝塞尔曲线在iOS中的应用以及一些高级技巧，循序渐进，试图让读者对iOS的中贝塞尔曲线知识有一个较系统的认识。
你可能在很多地方听说过贝塞尔曲线，但是贝塞尔曲线到底是什么，它有什么特性能让它有这么高的知名度，它到底有什么用呢？
二、贝塞尔曲线简介
1. 贝塞尔曲线 是什么
头一次听，可能以为他和牛顿定律，斐波那契数列一样是由一个名字叫贝塞尔的人发明的，然而并不是。其实贝塞尔曲线的数学基础最早是1912年就在当世广为人知的伯恩斯坦多项式，那什么又是伯恩思坦多项式呢，简单地说，伯恩斯坦多项式是用来证明，在 [a, b]区间上所有的连续函数都可以多项式来逼近，并且一致收敛，再简单地说，就是在一个连续函数，你可以将它写成n个伯恩思坦多项式相加的形式，并且随着n 趋向于无穷大，这个多项式将一致收敛到原函数。
听不懂，没关系，继续往下看。
虽然在1912年就已经被发现，但是其对图形的适用性在半个世纪内者也没有被实现，直到1959年在雪铁龙汽车就职的数学家 Paul de Casteljau，开始对伯恩斯坦多项式进行图形化的尝试，并推出一种新的数值稳定(即在求伯恩斯坦多项式的时候不会引入数值误差)递归算法 de Casteljau 算法用来伯恩斯坦多项式。根据这个算法，就可以只通过很少的控制点，去生成复杂的平滑曲线，也就是贝塞尔曲线。
而贝塞尔曲线的成名，得益于法国工程师 Pierre Bézier ，他将这种算法用来辅助雷诺汽车的车体工业设计，并且得到广泛宣传。
2. 现实应用
正是因为其绘制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的推广和应用。随后随着计算机技术的发展，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有了重要的地位。
今天我们使用的绘图软件，Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。
这里的一个网站可以在线模拟钢笔工具的使用：http://bezier.method.ac/
推广到三维空间的贝塞尔曲面，以及更进一步的非均匀有理 B 样条（NURBS），早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。
二、如何绘制贝塞尔曲线
下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。
- 画线段AC，BC, 相交于C点.
- 在线段AC取点D，BC上取点E使
AD:DC = CE:EB。 如下图所示：
3.连接点D、E
4.在线段DE上取点F，使 AD:DC = CE:EB = DF:FE。 如下图：
那么我们就找到了贝塞尔曲线上的点F，这时让选取的点 D 在线段AB上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。如下图：
如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！
这样就画出了一条贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线的一个比较好的动态演示网站：http://myst729.github.io/bezier-curve
三、多次（阶）贝塞尔曲线
回过头来看这条贝塞尔曲线，
为了确定曲线上的一个点，需要在线段AC和BC上进行取点的操作，A、B、C三个点被称为控制点，因此我们称得到的曲线为二(控制点个数n-1)次贝塞尔曲线。
根据控制点的个数，贝塞尔曲线被分为一次贝塞尔曲线，二次贝塞尔曲线（3个控制点）、三次贝塞尔曲线（4个控制点）等等，以此类推。
还有只有两个控制点的一次贝塞尔曲线，没错是一条线段，它是贝塞尔曲线的特殊情况：
四、附
综上可以看出使用贝塞尔曲线可以画出各式各样的圆形，也可以画出一条直线段。另外，贝塞尔曲线有以下两个重要的特性：
- 贝塞尔曲线总会通过第一个和最后一个控制点。曲线始点处的切线落在前两个控制点的连线上，曲线终点处的切线落在后两个控制点的连线上。
- 贝塞尔曲线始终在控制点围成的凸多边形内。
五、至此
至此我们了解了贝塞尔曲线的基本知识。
