排列(Arrangement/Permutation)
百度百科：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
从n个不同元素中取出m个不同元素，所有不同排列的个数称为排列种数或称排列数，记为或
(线性写法)。
- 排列数计算公式
排列数旧版使用
，新版使用
- 套路
直接使用STL函数next_permutation(first,last)循环遍历。
do{
// 排列的各种情况
}while(next_permutation(first,last));
- 问题
求解n以内(0~n-1)的所有数字的全排列。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n=0;
scanf("%d",&n);
int arr[n];
for(int i=0;i<n;++i){
arr[i] = i;
}
do{
for(int i=0;i<n;++i){
printf("%d ",arr[i]);
}
printf("\n");
}while(next_permutation(arr,arr+n));
}
组合(Combination)
百度百科：
从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从n个元素中不重复地选取m个元素的一个组合。所有这样的组合的总数称为组合数，记作或
(线性写法)。
- 组合数计算公式
- 组合数恒等公式
- 组合递推等公式
- 问题
求解n以内(0~n-1)的所有数字的组合结果(所有子集)。
1. 增量构造法
原理
每次选出一个元素放到集合中。-
分析
增量构造法是对组合集合的深度遍历。
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void combination(int n,int *A,int cur){
for(int i=0;i<cur;++i) printf("%d ",A[i]);
printf("\n");
int s = cur?A[cur-1]+1:0;// 确定当前元素最小可能值
for(int i=s;i<n;++i){
A[cur]=i;
combination(n,A,cur+1);
}
}
int main(){
int n=0;
scanf("%d",&n);
int arr[n];
combination(n,arr,0);
}
执行分析
迭代是横向思维(红色箭头)，递归是纵向思维(黄色箭头)。
对应访问树结构(准确的讲是DAG)也是迭代访问兄弟节点(红色箭头)，递归访问后代节点(黄色箭头)。
下面是演示n为不同值时函数调用的情况。缩进表示递归，缩进相同的表示迭代。
- n=1
combination([],0)
combination([0 ],1)
- n=2
combination([],0)
combination([0 ],1)
combination([0 1 ],2)
combination([1 ],1)
- n=3
combination([],0)
combination([0 ],1)
combination([0 1 ],2)
combination([0 1 2 ],3)
combination([0 2 ],2)
combination([1 ],1)
combination([1 2 ],2)
combination([2 ],1)
- n=4
combination([],0)
combination([0 ],1)
combination([0 1 ],2)
combination([0 1 2 ],3)
combination([0 1 2 3 ],4)
combination([0 1 3 ],3)
combination([0 2 ],2)
combination([0 2 3 ],3)
combination([0 3 ],2)
combination([1 ],1)
combination([1 2 ],2)
combination([1 2 3 ],3)
combination([1 3 ],2)
combination([2 ],1)
combination([2 3 ],2)
combination([3 ],1)
- n=5
combination([],0)
combination([0 ],1)
combination([0 1 ],2)
combination([0 1 2 ],3)
combination([0 1 2 3 ],4)
combination([0 1 2 3 4 ],5)
combination([0 1 2 4 ],4)
combination([0 1 3 ],3)
combination([0 1 3 4 ],4)
combination([0 1 4 ],3)
combination([0 2 ],2)
combination([0 2 3 ],3)
combination([0 2 3 4 ],4)
combination([0 2 4 ],3)
combination([0 3 ],2)
combination([0 3 4 ],3)
combination([0 4 ],2)
combination([1 ],1)
combination([1 2 ],2)
combination([1 2 3 ],3)
combination([1 2 3 4 ],4)
combination([1 2 4 ],3)
combination([1 3 ],2)
combination([1 3 4 ],3)
combination([1 4 ],2)
combination([2 ],1)
combination([2 3 ],2)
combination([2 3 4 ],3)
combination([2 4 ],2)
combination([3 ],1)
combination([3 4 ],2)
combination([4 ],1)
- 性能
时间复杂度：
空间复杂度：
2. 位向量法
- 原理
构造位向量bits[i]，代替增量构造法中的数组arr[]，B[i]为true表示选取，false表示不选。 -
分析
位向量法是对组合集合的后序深度遍历。
- 参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void combination(int n,bool *bits,int cur){
if(cur == n){
for(int i=0;i<cur;++i) {
if(bits[i]) printf("%d ",i);
}
printf("\n");
return;
}
bits[cur] = true;
combination(n,bits,cur+1);
bits[cur] = false;
combination(n,bits,cur+1);
}
int main(){
int n=0;
scanf("%d",&n);
bool bits[n];
combination(n,bits,0);
}
- 性能
时间复杂度：
空间复杂度：
3. 二进制法
- 原理
使用二进制表示元素的取舍(1表示取，0表示舍)。 -
分析
- 参考代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void combination(int n){
int size = pow(2,n); // 也可以这样 1<<n;
for(int i = 0; i < size; ++i){// 遍历二进制数
for(int j = 0; j < n; ++j){// 遍历0~n的数组
if((i>>j)&1 == 1){ // 如果对应二进制数为1,表示选择
cout << j << " ";
}
}
printf("\n");
}
}
int main() {
int n = 0;
scanf("%d",&n);
combination(n);
return 0;
}
- 性能
时间复杂度：
空间复杂度：
总结
当n=5时，下面是各种方法的输出结果：
4. 应用
- 已知大小为
n数列arr，求数列的所有组合结果(所有子集)。
- 已知字符串
s，求字符串的所有组合结果(所有子集)。
5. 分类计数原理
- 加法原理
做一件事有种方案，第
种方案有
种方法，则一共有
种方法。
- 乘法原理
做一件事有种方法。
