数据降维 | 主成分分析(PCA)

01 数据降维

数据分析中,我们常常面对较大的数据集,这里的“大”,一是指样本量大(如千万量级),二是指高维度(如几百个维度)。因此在正式分析这些大数据前,我们需要对它们做预处理,从而缩减数据维度,提升处理效率和训练效果。

数据降维就是一种数据预处理技术,常用的降维技术如下:

  1. 主成分分析 PCA
  2. 因子分析 Factor Analysis
  3. 独立成分分析 ICA

本文介绍并实践了一种常用的数据降维方法——主成分分析(PCA)

让我们一起来看看吧~


02 PCA原理

主成分分析的原理非常简单,概括来说就是选择包含信息量大的维度,去除信息量少的“干扰”维度,具体如下:

  • 数据从原来的坐标系转换到新的坐标系,新坐标系的选择是由数据本身决定的。第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方向(即数据差异性最大的方向),第二个新坐标轴选择与第一个新坐标轴正交且具有最大方差的方向,以此类推,共建立与原始数据特征数目相等的新坐标轴。

  • 我们会发现,大部分方差都包含在最前面的几个新坐标轴中,因此我们可以忽略余下的坐标轴,从而实现降维。(方差大代表不同数据之间的差异大,即,包含的可区分信息量大)

注意,PCA降维后,原始数据被映射到了新坐标系,不是原始值了。


03 python实现

根据PCA原理,我们写出如下PCA的过程,然后用python实现。

过程:

  1. 去除平均值(防止协方差计算中出现乘以0的情况)
  2. 计算协方差矩阵np.cov(),并计算该矩阵的特征值和特征向量nplinalg.eig()
  3. 将特征值降序排序,保留前N个特征值对应的特征向量(N为PCA保留的特征数,人为设定)
  4. 将原始数据转换到这N个特征向量构建的新空间中(矩阵乘法:原始数据*特征向量)
  5. 将转换到新空间的原始数据,映射到新坐标系中,得到降维之后的数据集

python实现如下

def pca(dataMat,topNfeat=999999):
    meanVals=np.mean(dataMat,axis=0) #求dataMat各列均值
    meanRemoved=dataMat-meanVals #减去原始数据中的均值,避免协方差计算中出现乘以0的情况
    covMat=np.cov(meanRemoved,rowvar=0) #rowvar=0-->以列代表一个变量,计算各列之间的协方差
    eigVals,eigVects=np.linalg.eig(np.mat(covMat)) #协方差矩阵的特征值和特征向量
    eigValInd=np.argsort(eigVals) 
    eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1] #对升序排序结果从后往前取topNfeat个值
    redEigVects=eigVects[:,eigValInd] #取选定特征值对应的特征向量,从而转换原始数据
    lowDemData=meanRemoved*redEigVects #将原始数据转换到新空间
    reconMat=(lowDemData*redEigVects.T)+meanVals #降维后的数据集
    return lowDemData,reconMat

用一组简单的二维数据来测试一下

再进一步

刚才的PCA实现中,我们认为设定保留的维度数,所以这里会有个问题——如何知道保留几个维度是最佳的呢?

我们希望通过保留尽可能少的维度来留存尽可能多的信息。

所以我们用另一组多维度数据集来看看保留不同维度数时,所保留的信息量占比情况。

  • 可以看到,维度降到3维时,已经包含90%以上的信息了,实际使用中选择降到多少维根据具体需求而定

04 总结

本文介绍并用python实现了一种常用的降维算法——PCA。

PCA优缺点

  • 优点:降低数据复杂性,识别最重要的多个特征
  • 缺点:PCA需要将所有数据集放入内存,若数据集较大,内存处理效率低,此时需要使用其他方法来寻找特征值-->SVD+PCA

基于PCA占用内存的缺点,下一期我们将学习另一种降维算法——奇异值分解(SVD),此算法也是搜索引擎的基础算法之一,敬请期待~


05 参考

《机器学习实战》 Peter Harrington Chapter13

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