Leetcode【120、611、813、915】

问题描述:【DP】120. Triangle
解题思路:

这道题是给一个三角形,从顶到下计算最小路径和。

容易想到用动态规划求解,dp[i][j] 存储累加到位置 (i, j) 的最小路径和。

如果是从顶到下,那么转移方程为 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j],但是会发现,对于第 i 行的在最后一个数字 dp[i][j],dp[i-1][j] 不存在(因为第 i-1 行没有第 j 列)。这样要判断边界,比较麻烦。

换种思路,可以从底向上,则 dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j],不会出现越界情况,最后 dp[0] 就是答案。采取从底向上方法时,注意先初始化最后一行。

Python3 实现:
class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        dp = [[0 for col in range(len(triangle[row]))] for row in range(len(triangle))]
        for j in range(len(triangle[-1])):  # 初始化最后一行
            dp[-1][j] = triangle[-1][j]
        for i in range(len(triangle)-2, -1, -1):  # 从底到上
            for j in range(len(triangle[i])):
                dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + triangle[i][j]
        return min(dp[0])

问题描述:【Binary Search、Two Pointers】611. Valid Triangle Number
解题思路:

这道题是给一个数组,求组成有效三角形的个数。

首先这道题肯定是要对数组排序的。如果采取暴力方法(固定两条边,找第三条边,时间复杂度为 O(n^3),根据数据范围肯定超时,pass)。小于 O(n^3) 的,想着可不可以用 DP 方法做(转移方程不好找,pass)。

方法1(Binary Search):

暴力方法是 O(n^3),但是由于数组是排好序的,我们可以对第三条边进行二分查找,找到符合三角形条件的第三条边最大位置,这样时间复杂度为 O(n^2*logn)。

举例,nums = [3,4,5,5,6,6,7,8],固定 3 和 4,用二分查找找到第二个 6 的位置(符合三角形条件的第三条边的最大位置),然后累加中间的三角形个数;固定 3 和 5,用二分查找找到 7 的位置,累加中间的三角形个数;以此类推。

Python3 实现:

class Solution:
    def triangleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        nums.sort()
        N = len(nums)
        ans = 0
        for i in range(N-2):
            for j in range(i+1, N-1):
                two = nums[i] + nums[j]
                k, t = j+1, N-1
                while k <= t:  # 二分查找第三个数的最大位置
                    mid = (k + t) // 2
                    if two > nums[mid]:
                        k = mid + 1
                    else:
                        t = mid - 1
                ans += t - j  # 第三个数的最大位置之前都满足
        return ans

方法2(Two Pointers):

其实刚开始就在想双指针的方法,但是想了一下可能不太行。实际上,双指针方法是可以做的,即对数组从大到小排序(关键),每次固定最大的数,然后使用左右指针找其他两条边。如果双指针指向的两个数之和大于第一个数,说明两指针之间的情况都满足(两条最小的边大于第三边)。

举例,nums = [8,7,6,5,4,3,2](从大到小排序),固定 8,双指针 low 和 high 分别指向 7 和 2,7 + 2 > 8,7 和 2 中间都满足三角形条件,累加 ans,并执行 low += 1;双指针 low 和 high 分别指向 6 和 2,6 + 2 <= 8,不满足三角形条件,执行 high -= 1;双指针 low 和 high 分别指向 6 和 3,6 + 3 > 8,6 和 3 中间都满足三角形条件,累加 ans,并执行 low += 1;以此类推。

这样时间复杂度为 O(n^2)。刚开始没有想到双指针的求解思路,是因为思维局限在数组从小到大排序上了。

Python3 实现:

class Solution:
    def triangleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
        nums.sort(reverse=True)  # 从大到小排序
        N = len(nums)
        ans = 0
        for i in range(N-2):
            low, high = i+1, N-1
            while low < high:
                if nums[low] + nums[high] > nums[i]:
                    ans += high - low  # 双指针之间都满足
                    low += 1
                else:
                    high -= 1
        return ans

问题描述:【区间DP】813. Largest Sum of Averages
解题思路:

这道题是给一个数组,将其划分为 K 个部分,使得每部分平均值加起来最大。

首先想到可以用 DFS 回溯法做,但是看了数据范围,肯定不行,pass。然后,能想到的就只有动态规划 DP 了。

实际上,这是一道区间 DP 题目。先定义 DP 数组,因为这道题还和 K 有关,因此可以定义 dp[N][K],N 为数组长度,其中 dp[i][j] 表示将前 i 个数字划分成前 j 组的最大平均值。最后,dp[N][K] 就是答案。

接下来的关键,就是要找状态转移方程。将前 i 个数字划分成 j 组,可以对于这 i 个数字的每个位置 t,将前 t 个数字划分成 j - 1 组,然后将剩下的 i - t 个数字划分成第 j 组。因此,我们可以得到:
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[t][j-1] + (presum[i]-presum[t]) / (i-t)), for each t
其中,t 是前 i 个数字的每个位置,presum[i] 表示前 i 个数字的和,则 presum[i]-presum[t] 就是剩下的 i - t 个数字之和,再除以 i - t 就是剩下的 i - t 个数字的平均数。

还有三个要注意的问题:(1)t 的范围?(2)如何初始化?(3)如何遍历?

  • 因为 t 是前 i 个数字的取值范围,因此 t 肯定要小于 i(不能等于 i,因为 t 要划分出 j-1 组,最后至少留一个位置 i 来划分第 j 组);又因为 dp[t][j-1] 的意义是将前 t 个数划分成 j-1 组,因此 t >= j-1(至少要保证 t 个数足够多来被 j - 1 划分)。因此,t 的取值范围是 [j-1, i)。
  • 当 K = 1 时,注意到 dp[t][j-1] 是没有意义的,因此要单独初始化。K = 1,实际上是将数组划分为 1 个部分,因此转移方程为:dp[i][1] = presum[i] / i即对前 i 个数直接求平均值即可。
  • 首先加上 t,肯定是三层循环,而且 t 肯定是最内层循环。但是,最外层循环是对 N (或 i)遍历还是对 K (或 j)进行遍历呢?由问题的实际意义,最外层循环应该是对 K (或 j)进行遍历,比如 N = 4,K = 3,如果最外层循环是 N(或 i),那么我们的计算顺序是 dp[1][1]、dp[1][2] ... 很明显,dp[1][2] 不符合 DP 的定义。如果最外层循环是 K (或 j),则计算顺序是 dp[1][1]、dp[2][1]、dp[3][1]、dp[4][1]、dp[2][2] ... 这是符合 DP 定义的。

考虑到以上问题,那么问题就可以解决了。时间复杂度为 O(N*K*N),空间复杂度为 O(N*K)(计算前缀和的空间复杂度为 O(N))。

Python3 实现:
class Solution:
    def largestSumOfAverages(self, A: List[int], K: int) -> float:
        N = len(A)
        presum = [0] * (N+1)
        for i in range(1, N+1):  # 前缀和, 方便计算平均值
            presum[i] = presum[i-1] + A[i-1]
        dp = [[0]*(K+1) for _ in range(N+1)]
        for i in range(1, N+1):  # K为1时单独初始化,防止下面的dp[t][j-1]没有意义
            dp[i][1] = presum[i] / i
        for j in range(2, K+1):  # 最外层循环K, 因为N>=K
            for i in range(j, N+1):  # 因为i>=j
                for t in range(j-1, i):  # 因为t>=j-1, 但是t不能比i大
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[t][j-1] + (presum[i]-presum[t])/(i-t))
        return dp[-1][-1]  # 即dp[N][K]

问题描述:【Array】915. Partition Array into Disjoint Intervals
解题思路:

这道题是给一个数组,将其划分成两部分,使得左边所有数小于等于右边所有数,返回划分位置。

根据题意,我们知道左右两边数组满足左边的最大值<=右边的最小值,因此,我们只需要找到第一处满足上述条件的位置,就是最终的答案。

做法:可以使用左右遍历法,记录左边的最大值和右边的最小值,分别保存在数组中。然后,再对原来数组从左到右遍历每一个划分的位置,去查左最大和右最小数组,发现第一个满足上述条件的位置就是答案。

这种左右遍历法是一种典型的牺牲空间换时间的方法,因此时间复杂度和空间复杂度均为 O(n)。

以 A = [5,0,3,8,6] 为例,从左到右遍历,得到左边最大值数组为:left = [5,5,5,8,8];从右到左遍历,得到右边最小值数组为:right = [0,0,3,6,6]。然后对 A 的每个位置 i,去查 left 和 right 数组,如果发现 left[i] <= right[i+1],即左边的最大值<=右边的最小值,满足题意,位置 i+1 就是答案。

Python3 实现:
class Solution:
    def partitionDisjoint(self, A: List[int]) -> int:
        N = len(A)
        left_max, right_min = [A[0]] * N, [A[-1]] * N
        for i in range(1, N):  # 左边最大值数组,从左到右遍历
            left_max[i] = max(left_max[i-1], A[i])
        for i in range(N-2, -1, -1):  # 右边最小值数组,从右到左遍历
            right_min[i] = min(right_min[i+1], A[i])
        for i in range(N-1):
            if left_max[i] <= right_min[i+1]:  # 存在一种划分
                return i+1

改进:左边最大值可以在最后从左到右遍历的过程中更新,因此没必要计算左边最大值数组,用一个变量即可。改进后的代码如下:

class Solution:
    def partitionDisjoint(self, A: List[int]) -> int:
        N = len(A)
        left_max = float("-inf")  # 用一个变量记录左边最大值
        right_min = [A[-1]] * N
        for i in range(N-2, -1, -1):  # 右边最小值数组
            right_min[i] = min(right_min[i+1], A[i])
        for i in range(N-1):
            left_max = max(left_max, A[i])  # 更新左边最大值
            if left_max <= right_min[i+1]:  # 存在一种划分
                return i+1
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 151,688评论 1 330
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 64,559评论 1 273
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 101,749评论 0 226
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 42,581评论 0 191
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 50,741评论 3 271
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 39,684评论 1 192
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,122评论 2 292
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 29,847评论 0 182
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,441评论 0 228
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 29,939评论 2 232
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,333评论 1 242
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 27,783评论 2 236
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,275评论 3 220
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,830评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,444评论 0 180
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 34,553评论 2 249
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 34,618评论 2 249

推荐阅读更多精彩内容