最大子数组问题

Maximum Subarray

由于简书不支持latex语法，所以可以到下面的作业部落去看。
https://www.zybuluo.com/LIUHUAN/note/363545
标签（空格分隔）： algorithm

这个问题我们先看下问题的描述：

问题描述

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.
For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

问题来自于Leetcode:Maximum Subarray

问题分析

简单来说，就是在一个数组 $A_{1...n}$ 中找到一个子数组 $A_{i...j}$ 使得
$\sum_{k=i}^j A_k$ 最大，也有找最小值的（可以转化为找最大值的问题，不再详述）

那么最直接的想法，就是对于每一个 $（i,j）,i \le j$ 遍历整个数组，用一个最大值标记一下，就能都找到最大值了。对于每一个 $i,j$ 组合总共有 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个子数组，都遍历一次数组，那么可以看出来整个的复杂度为 $O(n^3)$

解决方案

1.按着上面的思路，我们可以写出如下的程序来

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 0)
            return 0;
        if(n == 1)
            return nums[0];
        int max = 0x80000001;//最小的32位整数
        int sum = 0;
        for(int i =0;i<n;++i){
             for(int j=0;j<n;++j){
                 sum = 0;
                 /*计算 A[i,j] 的和*/
                 for(int k=i;k<=j;++k){
                    sum += nums[k]; 
                 }
                /**更新最大值max*/
                if(sum > max)
                    max = sum;
             }
        }
        return max;
    }

但是这种方法在Leetcode上面没有通过，因为超时了。时间复杂度太高了。如果数据很大，那么会很慢。

2.上面的解决方案1需要重复计算每个子数组的部分过程

上面的算法我们每次是按着 $(i,j)$ 对来计算的，如果我们当纯来想如何求所有的子数组的过程，可以发现，对于一个特定的 $i$ ，我们可以计算 $(i,i),(i,i+1),(i,i+2) \dots (i,n-1)$ 的和，
$\sum_{k=i}^{j+1}A_k = A_{j+1} + \sum_{k=i}^{j}A_k$ 可以充分利用前面计算出来的 $\sum_{k=i}^{j}A_k$ ,来降低时间复杂度。

那么就不用对于每一个 $(i,j)$ 都从 $i$ 到 $j$ 遍历数组，那么时间复杂度可以降低为 $O(n^2)$
所以可以有如下优化的代码

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 0)
            return 0;
        if(n == 1)
            return nums[0];
        int max = 0x80000001;//最小的32位整数
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<n;++i){
            sum = 0;
            /**对于某个特定的i 分别计算A[i,i+1],A[i,i+2],...A[i,n-1]的和*/
            for(int j=i;j<n;++j){
                sum += nums[j];
                /**更新最大值max*/
                if(sum > max )
                    max = sum;
            }
        }
        return max;
}

噩耗再次传来，⊙﹏⊙b汗

没有通过leetcode测试，还是超时了
那么看样子时间复杂度还需要降低才可以。不然找不到工作了。。。

2.下面采用的分治的算法，从最大子数组出现的位置来考虑的。可以参考<算法导论>的第4章内容

分治的思想是，把数组 $A_{i \dots j},i \le j$ 看成两个部分，可以认为是从数组中间分割成
$A_{i \dots k}$ 和 $A_{k+1 \dots j},k = \frac{i+j}{2}$ 两个数组，那么我们的目标就是通过求这两个子数组的最大值，然后求得目前这个数组 $A_{i \dots j}$ 的最大子数组和的值。那么问题来了，如果你知道了 $A_{i \dots k}$ 的最大子数组的和 $max\_left$ 和 $A_{k+1 \dots j}$ 的最大子数组的和 $max\_right$ ,你怎么求解目前这个数组 $A_{i \dots j}$ 的最大子数组的和？⊙﹏⊙b汗

可以分析下，如果知道了 $max\_left$ 和 $max\_right$ ，那么我们分析下 $max\_left$ 和 $max\_right$ 的构成。
$max\_left = \sum_{t=start}^{end}A_t,start \ge i , end \lt k$
$max\_right = \sum_{t=start}^{end}A_t,start \gt k , end \le j$
从上面的表达式可以看出来 $max\_left$ 是 $k$ 左边的某个子数组的和， $max\_right$ 是 $k$ 右边的某个子数组的和，具体是什么我们可以先不用管了，因为，这两个值都是假设已经知道的。
那么整个 $A_{i \dots j}$ 最大子数组的和，出现的子数组的位置还有一种可能，那就是，在左边有一部分，右边也有一部分，并且包含 $A_k$ 这个元素。也就是子数组和的形式为 $\sum_{t=start}^{k-1}A_t + A_k + \sum_{t=k+1}^{end}A_t$ ，哎呦这样看来不就是和之前 $\sum_{t=i}^ {j}A_t$ 形式一致了么？有神马意义⊙﹏⊙b汗
客官，请慢！！我明天再写吧。
那么，我们就先分别递归求的左边和右边的最大子数组和的值，然后考虑下和当前的跨越中点的那个最大子数组和进行比较，获取他们三个当中最大的那一个。
那么如何求的跨越中点的子数组的最大值呢？
跨越中点有一个特点，就是左边是以中点 $k = \frac{i+j}{2}$ 所在元素结尾，右边是以这个元素为开始，那么由第二种解决方案的思路，我们就可以分别从 $k$ 开始，向左边和右边进行遍历找到最大的那个。其实这种遍历是 $O(n)$ 的复杂度的⊙﹏⊙b汗
那么我们就写下来代码看看。

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    if(n == 0)
        return 0;
    if(n == 1)
        return nums[0];
    return maxSubArray_help(nums,0,n-1);
}

int maxSubArray_help(vector<int>& nums,int begin,int end){
    if(begin == end)
        return nums[end];
    int mid = (begin + end)>>1;
    /**左边子数组的最大值子数组值*/
    int max_left = maxSubArray_help(nums,begin,mid);
    /**右边子数组的最大值子数组值*/
    int max_right = maxSubArray_help(nums,mid + 1,end);
    /**跨越中点的最大值子数组值*/
    int max_cross = maxCrossMid(nums,begin,mid,end);
    return max(max(max_left,max_right),max_cross);
}

/*maxCrossMid函数的时间复杂度实际为O(n)*/
int maxCrossMid(vector<int>& nums,int begin,int mid ,int end){
    int left_max = 0x80000001;//最小的32位整数
    int right_max = 0x80000001;
    int sum = 0;
    /*计算以mid结尾的最大的子数组和，左边子数组*/
    for(int i = mid ;i>=begin;--i){
        sum += nums[i];
        if(sum > left_max)
            left_max = sum;
    }
    sum = 0;
    /*计算以mid+1开始的最大的子数组和，右边子数组*/
    for(int i=mid+1;i<=end;++i){
        sum += nums[i];
        if(sum > right_max)
            right_max = sum;
    }
    return left_max + right_max;
}

提交到Leetcode，如果还通不过，那么，你觉得我能找到工作么？黔驴技穷了都⊙﹏⊙b汗（还是参考算法导论的内容）

好消息是通过了测试，坏消息是，运行的速度很慢。很慢。。
我们来分析下这个算法慢在哪里,这个算法是一个分治的算法，那么我们按着分治的思想列出时间复杂度的计算表达式 $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + O(n)$ ,为什么最后面一项是 $O(n)$ ,这项就表示我们计算跨越中点的最大子数组和的时间复杂度。 maxCrossMid这个函数的最坏情况下是最大子数组就是从begin开始到end结束的和，那么begin和end最坏的情况就是0到n 所以时间复杂度是 $O(n)$
那么这个表达式的结果是什么呢？
根据主定理，我们可以知道这个解的下界是 $O(nlgn)$ 也就是 $\Theta(nlgn)$ ,当然这个算法比 $O(n^2)$ 要快，不然也通不过测试。。
那么他们怎么运行的那么快呢？有没有线性时间的算法呢？

3.线性时间的算法,思想参考算法导论的第4章的习题

线性算法的思想是基于动态规划，把问题转化为一个较小的子问题。思考是这么想的，但是实际求解的过程还是从子问题逐渐到整个问题的过程。我也不知道我在说神马⊙﹏⊙b汗

对于数组从左到右处理，记录到目前为止，他的意思是到你遍历的某个元素为止的已经处理过的最大子数组的，基于下面的观察，如果已知 $A[i \dots j]$ 的最大子数组，那么可以根据如下的性质将解扩展到为 $A[i \dots j+1]$ 的最大子数组： $A[i \dots j+1]$ 的最大子数组，要么是 $A[i \dots j]$ 的最大子数组，要么是某个子数组 $A[m \dots j+1]，i \le m \le j+1$ 。以 $A_{j+1}$ 结尾的子数组。
那么我们可以想到，如果 $A[i \dots j+1]$ 的最大子数组，和 $A[i \dots j]$ 的最大子数组一样，那很好实现，但是这只是一种情况。其实重点在 $A[i \dots j+1]$ 的子数组是 $A[m \dots j+1]，i \le m \le j+1$ ，如果是这种情况怎么确定 $A[m \dots j+1]$ 呢？也就是求解以 $A_{j+1}$ 结尾的最大子数组，按着解决方案三的思想，我们可以从 $A_{j+1}$ 向左遍历，求解一个最大的子数组，但是这种很明显就提高了复杂度，对于每一个 $j$ 你都要向左遍历，那么时间复杂度就成为 $O(n^2)$ 了⊙﹏⊙b汗
其实我们忘了一个假设，那就是当你处理到 $A_{j+1}$ 的时候，我们已经知道以 $A_{i}$ 结尾的最大子数组，对应于算法导论中提到的记录目前为止处理过的最大子数组。那么假设 $sum_j=\sum_{t=m}^{j}A_t$ 记录以 $A_j$ 结尾的最大子数组，那么可以得到
$sum_{j+1}=\left\{ \begin{array}{rcl} \sum_{t=m}^{j}A_t + A_{j+1} & & {\sum_{t=m}^{j}A_t + A_{j+1} \gt A_{j+1} } \\ A_{j+1} & & {\sum_{t=m}^{j}A_t + A_{j+1} \le A_{j+1} } \end{array} \right.$

这样就把以 $A_{j+1}$ 结尾的最大子数组找出来了，那么到 $A_{j+1}$ 为止的最大子数组（可能不是以 $A_{j+1}$ 结尾），还没有找出来，这就需要我们从开始记录一个到 $A_{j+1}$ 为止的最大子数组，假设为 $max_j$ 表示到 $A_{j}$ 为止的最大子数组，然后和以 $A_{j+1}$ 结尾的最大子数组进行比较，取最大的那个，
$max_{j+1} = \left\{ \begin{array}{rcl} max_{j} & & max_{j} \gt sum_{j+1}\\ sum_{j+1} & & max_{j} \le sum_{j+1} \end{array} \right.$

这样就可以完成求解到 $A_{j+1}$ 为止，最大的子数组。把过程弄明白之后，那就开始写程序。

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    if(n == 0)
        return 0;
    if(n == 1)
        return nums[0];
    vector<int> Max(n,0x80000001);
    vector<int> sum(n,0);
    sum[0] = nums[0];
    Max[0] = nums[0];
    for(int i=1;i<n;++i){
        /*以nums[i]结尾的最大子数组*/
        sum[i] = max(sum[i-1] + nums[i],nums[i]);
        /*到i为止的最大子数组*/
        Max[i] = max(sum[i],Max[i-1]);
    }
    /*返回到n-1为止的最大子数组，也就是整个数组的最大子数组*/
    return Max[n-1];
}

Leetcode提交通过，速度任然很慢，这是怎么一回事⊙﹏⊙b汗

分析下复杂度，时间复杂度为 $O(n)$ 只扫描一遍数组。
空间复杂度为 $O(2n)$ 因为用到了两个额外的数组Max和sum难道这个是慢的原因（有可能）
那么下面的思路就是对这个进行优化。

4.解决方案三的优化

我们看着方案三的代码，可以看出来，其实我们没有必要把全局的最后求解的最大值和每次以 $A_{j}$ 为止的最大值分开来求，只要存放在一个变量里面就可以了，因为到 $A_{j}$ 为止的最大值只使用了一次就结束了，就在和以 $A_{j}$ 结尾的最大值进行比较，所以可以有下面的优化一步的代码。

  int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 0)
            return 0;
        if(n == 1)
            return nums[0];
        vector<int> sum(n,0);
        sum[0] = nums[0];
        int max_sum = nums[0];
        for(int i=1;i<n;++i){
            /*以nums[i]结尾的最大子数组*/
            sum[i] = max(sum[i-1] + nums[i],nums[i]);
            /*到i为止的最大子数组*/
            max_sum = max(max_sum , sum[i]);
        }
        /*返回到n-1为止的最大子数组，也就是整个数组的最大子数组*/
        return max_sum;
}

5.解决方案四的进一步优化

在上一步的优化当中我们可以看出来，其实以 $A_{j}$ 结尾的最大子数组的值也是在求解以 $A_{j+1}$ 结尾的最大子数组的时候用到一次，其他的时候并不会用到，所以我们可以把这个sum数组也优化了，具体的可以用变量 $sum\_cur$ ，表示以 $A_{i}$ 结尾的最大子数组的和，然后比较 $sum\_cur + A_{j+1}$ 和 $A_{j+1}$ 的大小，取最大的那个就代表到以 $A_{j+1}$ 结尾的最大子数组的和。

这样我们就可以写出来，网上一般会直接给出的动态规划最后的结果。

当然还有其他的写法，可以主要思想就是这样。

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 0)
            return 0;
        if(n == 1)
            return nums[0];
        int sum_cur = nums[0];
        int max_sum = nums[0];
        for(int i=1;i<n;++i){
            /*以nums[i]结尾的最大子数组*/
            if(sum_cur < 0)
                sum_cur = nums[i];
            else 
                sum_cur += nums[i];
            /*到i为止的最大子数组*/
            if(sum_cur > max_sum)
                max_sum = sum_cur;
        }
        /*返回到n-1为止的最大子数组，也就是整个数组的最大子数组*/
        return max_sum;
}

6.总结

对于一个问题首先要想到它最为直接，一般的方法，比如这个题的方案1和方案2，首先想到这些直接的算法，然后观察对这种方法进行改进。

我很不赞成直接给出最后一种优化后的结果的答案，因为这个比较难于理解，至少是对我来说，如果你能直接看懂这个优化后的结果，那么可以用这种思想去做下Leetcode的Maximum Product Subarray这个题的思路和本题类似，后续的内容也会写到这个题。
曾经发生过两行代码来解决这个问题的争论，确实优化之后的核心代码确实只有两行，哈哈。
对于没见过的题，弄懂别人的解法是学习，能够应用之前学习到的方法解决问题是能力

7.参考内容

算法导论第4章

Leetcode:Maximum Subarray

最后编辑于：2019.05.27 13:33:06

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